Problema de mai jos este atribuită fizicianului Dirac. Am auzit-o când aveam vreo 18-20 de ani; n-am uitat-o, deoarece rezolvarea mi s-a părut foarte interesantă – mă refer la rezolvarea aritmetică. Oamenii cărora le-am dat-o au mai rezolvat-o şi altfel: algebric (cu ecuaţii), şi chiar grafic. Unii au rezolvat-o în câteva minute, alţii (inclusiv eu) – în câteva zile. Dar asta nu contează de loc, contează că au rezolvat-o şi că, eventual, au gustat isteţimea soluţiei.
Deci problema:
Un businessman lucra la Londra, dar locuia la ţară. Ca să ajungă acasă, lua mai întâi trenul, mereu la aceeași ora, iar la gară venea șoferul, care îl ducea acasă.
Într-o zi businessman-ul pleacă de la lucru și ia trenul cu o ora mai devreme. Ajunge la gara de destinaţie cu o oră mai devreme decât de obicei. Desigur, maşina încă nu ajunsese la gară, așa că o ia pe jos spre casă. Pe drum se întâlnește cu mașina care venea să-l ia de la gara, se urcă în ea și ajunge acasă. La sfârșit constată că a ajuns acasă cu 20 de minute mai devreme decât de obicei.
Întrebarea este: cât timp a mers businessman-ul pe jos?
Se presupune că organizarea era perfectă: că mașină venea la gară exact când venea trenul și că nu se pierde nicio clipă cu transbordarea.
O mare rugăminte: rog să nu trimiteţi/publicaţi deocamdată răspunsul sau rezolvarea pe ACUM; acesta nu este un concurs de viteză! Să lăsăm cititorilor suficient timp – să zicem două săptămâni sau, la cerere, mai mult – să se gândească în linişte şi fără presiune.
Rog să nu trimiteţi/publicaţi deocamdată răspunsul sau rezolvarea pe ACUM.
Cine doreşte poate să-mi trimită un mail pe adresa privată sau să mă contacteze prin ACUM: https://acum.tv/redactia/
Au trecut peste două săptămâni de când am publicat problema.
Cine doreşte, poate de acum înainte să trimită soluţia şi comentariile sale.
Până acum au trimis soluţii (îi rog să le re-trimită dacă doresc să apară):
– dl. Sfart Pincu
– dl. Cristinel Ilie (din Italia)
Sunt două soluții, prima îmi aparține (timp 30 minute, a doua este a fiului meu, Sfartz Sorin, 10 minute).
1-a metoda – Sfartz Pincu
Șoferul ajunge acasă cu 20 de minute mai devreme. Aceasta înseamnă că a parcurs un drum mai scurt decât de obicei. Drumul este mai scurt exact cu distanța ¨gară-loc de întâlnire¨ înmulțită cu 2 (adică dus-întors), pentru că șoferul nu mai e nevoit să o parcurgă. Deci șoferul ar fi parcurs distanța ¨gară-loc de întâlnire¨ dus întors în 20 de minute. Aceasta înseamnă că ar fi parcurs distanța ¨loc de întânire – gar㨠în 10 minute.
Dacă businessman-ul nu ar fi plecat din gară pe jos, în momentul când șoferul ar fi ajuns la gară, businessman-ul ar fi așteptat în gară o oră sosirea șoferului. Însă businessman-ul a ales să folosească acea oră pentru a veni în întâmpinarea șoferului și a plecat pe jos imediat. Aceasta înseamnă că acesta a parcurs pe jos distanța ¨gară-loc de întâlnire¨ în acea oră minus timpul necesar șoferului pentru a ajunge de la punctul de întâlnire la gară. Deci a mers pe jos 60min minus 10 minute = 50 minute.
De aici se deduce și faptul că aceeași distanță este parcursă de om în 50 de minute și de mașină în 10 minute, deci mașina are o viteză de 5 ori mai mare.
A 2-a metoda – Sfartz Sorin
Dacă șoferul nu l-ar vedea pe business-man pe drum și și-ar continua drumul până la gară (ca de obicei) atunci businessman-ul ar merge până în momentul ajungerii șoferului la gara exact o oră. Însă cum șoferul parcurge în 10 minute drumul mers de businessman de la gară la locul de întâlnire, rezultă că acesta a mers mai puțin cu 10 minute, deci în total 60 – 10 = 50 minute.
Am reformulat solutia: plecand cu o ora mai tarziu fata de cand ar fi trebuit sa plece daca ar fi stiut ca businessmanul vine mai devreme, soferul a „salvat” 20 de minute fata de ora obisnuita a ajungerii acasa. Deci un dus-intors de la locul de intalnire pana la gara si inapoi, sunt 2 drumuri egale a cate 10 minute. Mai departe mi-am dat seama ca solutia mea seamana cu a d-lui Pincu 🙂 In momentul intalnirii businessmanul mergea de la ora la care plecase (cu o ora inainte de timpul obisnuit) minus exact timpul care ii mai trebuia soferului ca sa ajunga la gara: 10 minute. Asadar, 50 de minute de mers pe jos.
Pana acum s-au gasit patru oameni destepti, dar unde sunt ceilalti ? Sau nu le place logica matematica – baza tuturor stiintelor, inclusiv a celei cu „datul din gura”! (politicienii, si altii !).
@Sfartz Pincu
> logica matematica – baza tuturor stiintelor, inclusiv a celei cu „datul din gura”! (politicienii, si altii !)
Logica este nu baza, ci duşmanul de moarte al dătătorilor de gură şi al politicienilor. Violul logicii (şi al faptelor) este metoda inevitabilă de a avansa idei şi opinii bazate pe fantezie.
M-am referit la politicienii adevarati ! Nu la cei din Teleorman.
@Sfartz Pincu
> Pana acum s-au gasit patru oameni destepti, dar unde sunt ceilalti ?
Cucurigu, cât de superior trebuie să vă simţiţi pentru ca să vă autodeclaraţi un om deştept, chiar dacă au mai fost alţi trei, cu Alexandru inclus!
În ceea ce mă priveşte, sunt la curent cu problema de aritmetică a lui Dirac şi cu soluţia de vreo 50 de ani.
Fiul meu, a propus o extensie a problemei de mai sus si anume:
„Ce s-ar petrece daca soferul nu l-ar vedea pe businessman pe drum? Evident acesta ar merge la gara si ar afla ca omul de afaceri a plecat pe jos de o ora. O intrebare interesanta ar fi : Cat timp si ce distanta ar mai trebui sa mearga in continuare businessman-ul pana sa fie in cele din urma ajuns de sofer ?”
Se incumeta cineva, la o rezolvare?
(solutia problemei o voi trimite Domnului Alex. Leibovici )
@Sfartz Pincu
> Cat timp si ce distanta…
În problemă se dau numai timpi, cu atâta este imposibi de calculat distanţe – mai trebuie făcută o presupunere pentru viteza omului…
Viteza omului rezulta din viteza masinii.
Solutia lui Sorin se intinde pe 22 de randuri! Si este perfect logica ! Are cap baiatul asta, nu gluma ! Nu mai pot sa tin pasul cu capacitatea lui in logica.
@Sfartz Pincu
> Viteza omului rezulta din viteza masinii.
Da, rezultă. Şi cât este viteza maşinii? N-o ştim !! Din datele problemei putem calcula numai raportul vitezelor – 1/5, cum aţi scris şi dv. la început.
Deci, cum am spus, este imposibil de calculat distanţe numai din ceea ce se dă în enunţ.
> Solutia lui Sorin se intinde pe 22 de randuri!
Uitaţi-vă bine la ea: chiar a calculat distanţe fără ipoteze suplimentare??
A calculat corect, l-am verificat de doua ori!
Sa Va trimit solutia pe mail?
@Sfartz Pincu
> A calculat corect, l-am verificat de doua ori!
Întrebarea mea nu era dacă calculul aritmetic este corect, ci dacă „a calculat distanţe fără ipoteze suplimentare„, lucru pe care eu îl consider imposibil. V-am explicat: dacă datele problemei conţin numai timpul, nu aveţi cum să obţinţi din ele mărimi de altă dimensiune (lungimi, viteze, mase, etc.), ci numai timpi şi mărimi adimensionale.
> Sa Va trimit solutia pe mail?
Ca să găsesc eu ipoteza suplimentară ? 😉
Da, sigur, trimiteţi-mi-o, sau puneţi-o pe ACUM – dar întrebaţi-l mai întâi pe fiul dv. dacă este de acord cu unaşi/sau cu alta. Dar puteţi şi să-l întrebaţi, pentru orice eventualitate, dacă a reuşit într-adevăr să calculeze distanţe.
Puteţi şi să-i trimiteţi linkul spre începutul discuţiei – https://acum.tv/articol/80693/#comment-172593 – şi să vă spună părerea.
Iată problema Dvs. extinsă de Sorin, și soluția lui. Eu nu am putut să mă concentrez intratat încât s-o rezolv! :
Sorin Sfartz
„O altă problemă
Ce s-ar petrece dacă șoferul nu l-ar vedea pe businessman pe drum? Evident acesta ar merge la gară și ar afla că omul de afaceri a plecat pe jos de o oră. O întrebare interesantă ar fi : Cât timp și ce distanță,(relativă,fracțiuni din drum), ar mai trebui să meargă în continuare businessman-ul până să fie în cele din urmă ajuns de șofer ?
Soluție.
Să notăm cu x distanța mearsă pe jos de businessman până la prima întâlnire și care e parcursa de el în 50 de minute. Până ajunge șoferul la gară businessman-ul mai merge încă 10 minute pe jos deci parcurge încă o cincime din distanță deja parcursă. Apoi el mai merge pe jos încă o distanță y în același timp în care șoferul parcurge întreaga distanță de gară la noul punct de întâlnire. Dat fiind faptul că mașina merge de 5 ori mai repede caă omul de afaceri aceasta înseamnă că distanța totală parcursă de mașină până la noul punct de întâlnire este de 5 ori mai mare decât y. În același timp această distanță parcursă de șofer include pe y pe x și pe x/5 toate parcurse de businessman. Adunând toate aceste distanțe obținem 5y=y+x+x/5, deci distanța y=3x/10.
Până să fie ajuns din urmă businessman-ul mai merge deci din primul punct de întâlnire până în al doilea x/5+y=x/5+3x/10=x/2. Deci dacă nu e văzut de șofer, businessman-ul mai trebuie să meargă încă jumătate din distanța deja parcursă până în momentul primei întâlniri, până ce va fi ajuns din urmă de șofer.
Cât timp mai trebuie să meargă businessman-ul după primele 50 de minute ? Aici facem regula de 3 simplă : dacă el merge în 50 minute distanța X, în câte minute va face distanța y (care este 3x/10) ?
Făcând socotelile rezultă : timpul pt intervalul y (în care șoferul merge de la gară la noua întâlnire) este=50 min x 3X/10 x 1/X=15minute. În total din momentul primei întâlniri în care șoferul nu l-a văzut, businessman-ul mai trebuie să meargă 10minute (cât îi ia șoferului să ajungă la gară) plus încă 15 minute (cât îi ia șoferului să îl ajungă din urmă). În total încă 25 de minute peste cele 50 de minute deja parcurse.”
@Sfartz Pincu
@Sorin Sfartz
Da, interesantă problemă. Soluţia este şi ea interesantă. Felicitări!!
Este o rezolvare iterativă şi se termină, şi anume destul de repede, datorită valorilor date pentru timpi, 10 şi 50, care sunt întregi şi divizibile între ele. Dacă n-ar fi fost alese aşa, ar fi trebuit mai mulţi paşi (chiar infinit de mulţi, dacă raportul timpilor ar fi fost iraţional 😉 )
O soluţie care merge pentru orice timpi este una „analitică”: scriem ecuaţiile de mişcare ale celor doi şi punem condiţia de întâlnire.
Am făcut asta şi am şi verificat rezultatul meu: pentru raportul timpilor (şi al vitezelor) egal cu 10/50 am obţinut – desigur – rezultatul d-lui Sorin Sfartz.
Desigur, nu se pot calcula distanţe (şi nici viteze) absolute, cu numai exprimate în unităţi de distanţă de la gară la întâlnirea ratată.
Detalii – la cerere.
Eu obișnuiesc să explic rezolvarea problemei scoțând în evidență o succesiune de trei „aha”-uri:
#1. deși personajul principal este businessman-ul, pentru rezolvarea problemei este avantajos să te concentrezi asupra … șoferului, pentru că și el a ajuns acasă cu 20 de minute mai devreme !
#2. Șoferul a economisit și el 20′, și asta pentru că nu a mai avut de parcurs drumul de la punctul de întâlnire până la gara și înapoi la punctul de întâlnire. Asta înseamnă că drumul de la punctul de întâlnire până la gara durează, cu mașină, 10 minute.
#3. Dacă șoferul și-ar fi continuat drumul încă 10 minute, ar fi ajuns la gara la ora lui obișnuită, dar acolo i s-ar fi spus că patronul lui plecase spre casă de o ora deja. Prin urmare businessman-ul a făcut 50 de minute pe jos.
Asta a fost rezolvarea aritmetică.
Din soluţie mai rezultă că raportul vitezelor omului şi maşinii este 10/50 = 1/5. Cum viteza obişnuită a unui om este de circa 5 km/h, viteza maşinii a fost de circa 25 km/h, care este cam puţin, chiar pentru anii 1930 când Dirac a inventat, zice-se, problema.
Poate de aceea am întâlnit şi o variantă a acestei probleme în care timpul economisit era de 10 minute, deci businessman-ul a mers 55 de minute pe jos. Atunci raportul vitezelor ar fi 5/55, adică viteza maşinii ar fi fost de circa 55 km/h – o cifră mai realistă…
Pentru amatorii de recorduri de viteză: „January 28, 1938: Rudolf Caracciola, a Mercedes-Benz racing car and the all-time world record of 432.7 kilometers per hour on the motorway (…)”. Sursa. https://www.classicdriver.com/en/article/mercedes-speed-record-cars-1930s
Nu are sens calificativul-„cel mai rapid automobil de serie”-deoarece -în fiecare marcă de automobil există record de viteză !
Astfel pentru ьщьутегд- Septembrie a anului 2014- conform versiunii Guinness,cel mai rapid automobil de serie este considerat Bugatti Veyron Super Sport, cu o viteză maximă de 431 km/oră. Această mașină este echipată cu un motor cu 16 cilindri, cu 1200 CP, care prinde „suta” în 2.5 secunde!
Iar viteza maximă atinsă de orice fel de vehicol terestru, este de 1228 km/oră, stabilită de englezul Endy Grinn la data de 15 Octombrie 1997, pe un automobil cu reacție Thrust SSCб echipat cu două motoae Rolls-Roys Spey,având o putere totală de …110.000 C.P. !!