Doua simboluri, introduse in logica matematica de David Hilbert, erau predate in Romania in algebra de clasa a noua. Simbolurile sunt un A intors, cu semnificatia oricare, provenind de la germanul “fur alle”, si un E intors, cu semnificatia exista, provenind de la “es existiert”.
In articolul de fata ne propunem sa reamintim rolul acestor cuantificatori si sa vorbim despre negatia logica. Vom ilustra folosirea lor in explicarea unui aparent paradox si in descrieri de rezultate electorale actuale in Romania si Statele Unite.
Data o multime nevida A si o proprietate P se pot forma urmatoarele enunturi logice:
1. Oricare element al multimii A are proprietatea P.
2. Exista un element al multimii A care are proprietatea P.
3. Oricare element al multimii A nu are proprietatea P.
4. Exista un element al multimii A care nu are proprietatea P.
Frumusetea negatiei logice consta in faptul ca negatia propozitiei 1 e propozitia 4 si ca negatia propozitiei 2 este propozitia 3. Adica pentru a arata ca nu e adevarat ca “oricare element al multimii A are proprietatea P”, e suficient sa aratam ca exista un element al multimii A care nu are proprietatea P.
Paradoxul mincinosului:
Toti cretanii sunt mincinosi, ne spune cretanul X. Care e paradoxul?
Aparent, afirmatia aceasta nu e nici adevarata, nici falsa.
A) Sa presupunem ca afirmatia e adevarata: Dar daca X e cretan, cum toti cretanii sunt mincinosi, atunci el e mincinos, si ceea ce spune el e o minciuna. Contradictie.
B) Sa presupunem ca afirmatia e falsa: Nu toti cretanii sunt mincinosi, deci toti cretanii spun adevarul, prin urmare X care e cretan spune adevarul, deci afirmatia e adevarata. Contradictie.
Cititorul atent va fi observat deja eroarea: In rationamentul B, negatia propozitiei “nu toti cretanii sunt mincinosi” ar trebui sa fie: exista cretani care spun adevarul. In particular X poate fi mincinos, si afirmatia sa fie falsa (o minciuna), atata timp cat exista niste cretani care nu sunt mincinosi.
In Statele Unite s-a vorbit in timpul alegerilor despre state rosii (in care majoritatea voturilor a fost pentru Bush) si state albastre (in care majoritatea voturilor a fost pentru Kerry). O simplificare ar fi ca statele rosii sunt republicane iar cele albastre sunt democrate. De exemplu, Pennsylvania ar fi un stat albastru. Impresia falsa care genereaza aceasta simplificare este confuzia dintre o “majoritate a alegatorilor” si “oricare cetatean”. Departe de a fi o mare albastra,
Pennsylvania are 2 senatori republicani. Mai mult decat atat, daca ne-am uita la numeroase judete (counties) am vedea ca ele sunt rosii. Deci exista judete rosii in Pennsylvania. Ce e si mai interesant e ca nici judetele rosii nu sunt in exclusivitate rosii, ci au si ele votanti albastri. Asemanator, judete albastre au votanti rosii.
O analiza similara se poate face si pentru alegerire din Romania comparand PSD cu Alianta DA, fie pe zone geografice, fie in mediul urban/rural. Inchei cu observatia ca atunci cand spunem “cetatenii din regiunea X au proprietatea P” (e.g. nu au gandire europeana, fiindca au votat partidul Y) facem o afirmatie de tip “oricare”. Mai corect ar fi sa cuantificam si sa spunem “exista alegatori in regiunea X care au proprietatea P”, etc.).
C. D. Cazacu
Cum bine ati scris, propozitia indicata nu e un paradox. Ca atare, denumirea e gresita.
Din cate stiu eu, paradoxul mincinosului se enunta cam asa:
„Aceasta propozitie este falsa.”
Un exemplu dintr-o clasa intreaga de propozitii autoreferentiale care conduc la paradox logic. Cu mult mai greu de descalcit.
Doar pentru a preciza mai bine chestiunea…